待ち行列（M/M/1）の練習問題

結論

利用率、平均待ち時間、平均応答時間、平均待ち行列長を、M/M/1モデルで何問でも生成する練習問題。待ち時間と応答時間の取り違えをその場で指摘します。

式は3つしかないのに、本番で崩れるのは「待ち時間を聞かれているのか、応答時間を聞かれているのか」です。処理時間を足すかどうかだけの差なので、どちらも計算としては最後まで通ってしまいます。手を動かして、問題文のどの言葉がどちらを指すのかを先に体に入れておくのが早いです。

何問解きますか？

問（1〜50）

結果

問題の型	正解	正答率

このセットのURL：
同じURLを開けば、いつでも同じ問題を解き直せます。

問題は毎回その場で作られます。あらかじめ用意した問題を並べているのではないので、解き尽くすことがありません。
誤答は「ありがちな間違い」から作っています。平均待ち時間と平均応答時間を取り違える、ρ/(1−ρ) に処理時間を掛け忘れる、利用率を逆に立てる、待ち行列長で ρ の2乗を忘れる、秒とミリ秒の換算を忘れる——といった、実際に起きるミスです。
間違えた選択肢が何を表すかまで出ます。「不正解」で終わらせず、自分が何を計算したのかが分かります。
型別の正答率が出ます。7種類の型のうち、どこで落としているかが結果画面で分かります。

実際に出題される問題の例です。ページ上のアプリでは、これと同じ形式の問題が何問でも生成されます。

例題 1平均待ち行列長

M/M/1の待ち行列モデル（窓口が1つ、到着も処理もランダム）で、利用率が 0.2 のとき、窓口の前に並んで待っている要求の平均個数（平均待ち行列長）はいくつですか。

平均待ち行列長＝ ρ² ÷（1 − ρ）＝ 0.04 ÷ 0.8 ＝ 0.05 です。ρ を2乗するのを忘れると 0.25 になりますが、これは処理中の1件も数に入れた「系内の平均要求数」で、別の量です。

例題 2到着率 → 利用率

1秒間に平均 1 件の要求が到着し、1件あたりの平均処理時間が 200 ミリ秒であるシステムがあります。M/M/1の待ち行列モデル（窓口が1つ、到着も処理もランダム）で、このシステムの利用率はいくつですか。

平均処理時間を秒に直すと 0.2 秒です。利用率＝到着率 × 平均処理時間＝ 1 × 0.2 ＝ 0.2 です。1秒のうち窓口がふさがっている割合、と読み替えると意味がつかめます。1を超えたら処理が追いつかず行列が無限に伸びる、という目安にもなります。

例題 3平均待ち時間

M/M/1の待ち行列モデル（窓口が1つ、到着も処理もランダム）で、利用率が 0.6、平均処理時間が 400 ミリ秒のとき、平均待ち時間は何ミリ秒ですか。

平均待ち時間＝利用率 ÷（1 − 利用率）× 平均処理時間です。0.6 ÷ 0.4 ＝ 1.5 なので、1.5 × 400 ＝ 600 ミリ秒です。ここに処理時間 400 ミリ秒を足すと平均応答時間 1000 ミリ秒になります。この2つの違いが最も間違えやすいところです。

問題は固定ではなく、その場で生成しています。1〜50問の範囲で解きたい問題数を指定でき、何度でも新しい問題が出ます。

解けます。出題するとURLに問題セットの識別子が付きます。そのURLを開き直せば、まったく同じ問題が同じ順番で出ます。

解き直せます。結果画面に「間違えた問題だけ解き直す」ボタンがあります。型別の正答率も表示されるので、どの型で落としているかが分かります。