ベン図で集合の式を確かめる

結論

集合の式を入力するとベン図が塗られ、逆に領域を塗ると、それを表す一番短い式が出ます。ド・モルガンの法則を図で確かめられます。

集合の式は、読んだだけでは「どこが塗られるのか」が頭の中で像を結びません。とくにド・モルガンの法則は、法則そのものは覚えられても、 ∪ と ∩ を入れ替え忘れたときに図がどう変わるのかを見ていないと、本番で確信が持てません。式を書いて図が変わるところを、手を動かして見てしまうのが早い単元です。

集合の数

式を入力すると、その部分が塗られます。AND・OR・NOT でも書けます。

塗られる領域

よく出る式

このツールの使い方

式で塗る：式を入力すると、その部分が塗られます。ボタンからも記号を入れられます。
塗って式を出す：領域をタップして塗ると、それを表す一番短い式が出ます。同じ塗り方になる別の式も一緒に出るので、等価な式を見比べられます。
練習：「式を読んで塗る」と「塗り方から式を選ぶ」の2方向で出題します。塗る問題は、合っている領域・塗りすぎ・塗り忘れを色分けして採点します。

記号の書き方

意味	記号	ほかの書き方
和集合（どちらかに入る）	∪	`+` / `OR`
共通部分（両方に入る）	∩	`&` / `AND`
差集合（Aに入りBに入らない）	−	`-`
対称差（片方だけに入る）	⊕	`^` / `XOR`
補集合（入らない）	¬	`~` / `NOT` / `A'`

AND・OR・NOT でそのまま書けるようにしてあるのは、ベン図と論理演算が同じものだからです。 A AND NOT B と A ∩ ¬B は、同じ場所が塗られます。

式とベン図の対応

実際にツールで入力したときと同じ結果です。

A ∪ B

和集合。AとBのどちらかに入っていれば塗ります。重なりも含みます。

塗られる領域：Aだけ、Bだけ、AとBの重なり

A ∩ B

共通部分。AとBの両方に入っているところだけを塗ります。

塗られる領域：AとBの重なり／同じ塗り方になる式：A − ¬B、B − ¬A

A − B

差集合。Aに入っていて、かつBに入っていないところです。A ∩ ¬B と同じです。

塗られる領域：Aだけ／同じ塗り方になる式：¬B ∩ A

¬(A ∪ B)

「AにもBにも入らない」ところ。ド・モルガンの法則で ¬A ∩ ¬B と等しくなります。∪ が ∩ に変わる点に注意します。

塗られる領域：AでもBでもない／同じ塗り方になる式：¬A − B、¬B − A

¬A ∪ ¬B

上と混同しやすい式。こちらは ¬(A ∩ B) と等しく、塗られるのは「両方に入っているところ以外すべて」です。

塗られる領域：AでもBでもない、Aだけ、Bだけ／同じ塗り方になる式：¬B ∪ ¬A

(A ∪ B) − C

AかBに入っていて、Cには入っていないところ。3集合の8領域のうち3つが塗られます。

塗られる領域：Aだけ、Bだけ、AとBだけの重なり／同じ塗り方になる式：¬C ∩ (A ∪ B)

ド・モルガンの法則を図で見る

この2つの式が、試験でもっとも取り違えられます。

¬(A ∪ B) ＝ ¬A ∩ ¬B 「AにもBにも入らない」ところ
¬(A ∩ B) ＝ ¬A ∪ ¬B 「両方に入っているところ以外すべて」

どちらも ¬ をかっこの中に入れる操作ですが、そのとき ∪ と ∩ を入れ替えます。入れ替えを忘れて ¬(A ∪ B) を ¬A ∪ ¬B にしてしまうのが、いちばん多い間違いです。上の2つの図を見比べると、塗られる場所がまったく違うことが分かります。式を書き換えたあとに図が同じままかどうかを確かめる癖をつけると、この取り違えは起きなくなります。

よくある質問

ド・モルガンの法則を図で確かめられますか。

確かめられます。¬(A ∪ B) と ¬A ∩ ¬B を順に入力すると、まったく同じ場所が塗られます。¬(A ∪ B) と ¬A ∪ ¬B は違う場所が塗られるので、∪ と ∩ を入れ替え忘れたときに何が起きるかがそのまま見えます。

塗った図から式を出せますか。

出せます。「塗って式を出す」に切り替えて領域をタップすると、その塗り方を表す一番短い式が表示されます。同じ塗り方になる別の書き方も一緒に出るので、等価な式どうしを見比べられます。

AND・OR・NOT でも書けますか。

書けます。AND は ∩、OR は ∪、NOT は ¬、XOR は ⊕ として読み取ります。A AND NOT B のように書いても、A ∩ ¬B と同じ図になります。論理演算とベン図が同じものだと確かめられます。

3つの集合にも対応していますか。

対応しています。「3集合（8領域）」に切り替えると、A・B・C の8領域を扱えます。条件が3つ絡む問題で、どこが重なっているかを目で確かめられます。